Kreslíme mnohouholníky a hviezdy

7.7.2009 o 9:00 | Karma článku: 10.75 | Prečítané  19997-krát

Lekcia informatiky pre žiakov sekundy na Gymnáziu pre mimoriadne nadané deti. Na čítanie pre zvedavcov, a na inšpiráciu pre kolegov informatikárov.

(Túto lekciu som vytvoril pre žiakov sekundy na našom osemročnom gymnáziu. Lekcia plynulo prechádza cez niekoľko tém a predmetov: začína programovaním, pokračuje geometriou, a končí teóriou čísel... alebo zarátame aj výtvarnú výchovu? ;-)

Predpokladáme, že žiaci už majú základné skúsenosti s prácou v programovacom jazyku Imagine Logo: poznajú príkazy "dopredu", "vľavo", "vpravo" a "znovu". Ďalej predpokladáme, že poznajú meranie veľkosti uhla v stupňoch, a vedia, aký uhol má 90° a 360°. A nakoniec predpokladáme, že vedia niečo o deliteľnosti celých čísel a poznajú pojem prvočíslo.)


Na úvod si môžeme nastaviť nejakú farbu a hrúbku pera – nie je to síce potrebné, ale obrázky budú potom vyzerať krajšie. ;-)

nechHrúbkaPera 3 nechFarbaPera "modrá

Pri kreslení štvorca sa otáčame o pravý uhol, čiže 90 stupňov. Príkaz na nakreslenie štvorca môže vyzerať napríklad takto:

dopredu 50 vpravo 90 dopredu 50 vpravo 90 dopredu 50 vpravo 90 dopredu 50 vpravo 90

To posledné otočenie sme vlastne na kreslenie štvorca nepotrebovali, je tam len tak, aby bola korytnačka po skončení príkazu otočená rovnakým smerom ako na začiatku.

modrý štvorec

Môžeme využiť, že príkazy sa opakujú, a napísať:

opakuj 4 [ dopredu 50 vpravo 90 ]

Aby sme dostali štvorec, dôležité je, že sa otáčame o 90 stupňov, a že opakujeme 4-krát. Číslo, o koľko sa posúvame dopredu, určuje veľkosť strany štvorca – ak ho zmeníme, môžeme dostať väčší alebo menší štvorec, ale stále to bude štvorec. Takisto nezáleží na tom, akú použijeme hrúbku a farbu pera. Štvorec možno teda nakresliť napríklad aj takto:

nechHrúbkaPera 2 nechFarbaPera "červená opakuj 4 [ dopredu 70 vpravo 90 ]

červený štvorec

Skús teraz podobným spôsobom pomocou príkazu „opakuj“ nakresliť pravidelný trojuholník a šesťuholník. Skúšaj rôzne uhly. Až keď to urobíš (alebo ak sa to napriek dlhému skúšaniu nepodarí), čítaj ďalej...

trojuholník šesťuholník


(Toto je písomná verzia lekcie upravená pre samoukov. V škole na hodine by som začal tým, že žiaci samostatne zistia, ako nakresliť štvorec. Ak potrebujú pomôcku, opýtam sa, aký uhol má štvorec. Ak odpovedia „pravý uhol“, opýtam sa, koľko je to stupňov. V skutočnosti je tento návod zavádzajúci, pretože nerozlišuje medzi vonkajším a vnútorným uhlom... ale to sa vysvetlí hneď v nasledujúcej časti.

Trvám na tom, aby žiaci kreslili útvary pomocou príkazu „opakuj“. Tým zabezpečím, že budú kresliť pravidelné mnohouholníky. Bez toho by táto lekcia stratila zmysel.

Niektorí žiaci nakreslia štvorec so stranou veľkosti 90. Aby som sa ubezpečil, že rozumejú, kde sa v programe zadáva dĺžka strany, a kde veľkosť uhla, požiadam ich, aby nakreslili väčší štvorec.

Ako nasledujúce útvary som úmyselne vybral trojuholník a šesťuholník, pretože ich uhly sú násobkami 10, takže ich žiaci ľahko nájdu skúšaním rôznych čísel.


Skúšaním rôznych uhlov môžeme zistiť, že správny uhol pre trojuholník je 120 stupňov, a pre šesťuholník 60 stupňov. Nakreslíme ich napríklad takto:

opakuj 3 [ dopredu 70 vpravo 120 ]

trojuholník

opakuj 6 [ dopredu 40 vpravo 60 ]

šesťuholník

Možno si pamätáš z matematiky, že súčet uhlov v trojuholníku je 180 stupňov, takže každý uhol v rovnostrannom trojuholníku má 60 stupňov (180 / 3 = 60). Prečo sa teda pri kreslení trojuholníka otáčame o 120 stupňov? A naopak, prečo pri otáčaní o 60 stupňov vznikne šesťuholník?

Dôvod je ten, že pri kreslení pomocou korytnačky sa otáčame o vonkajší uhol, nie vnútorný. Pozri sa na obrázok:

vonkajší a vnútorný uhol

Pri kreslení trojuholníka korytnačka najprv kreslí čiaru nahor. Tenká čiara ukazuje, ako by korytnačka pokračovala, keby sme ju neotočili. Uhol, o ktorý otáčame korytnačku, je uhol medzi tenkou čiarou a novou čiarou, čiže vonkajší uhol trojuholníka. Tých 60 stupňov, ktoré si pamätáme z matematiky, je uhol medzi starou a novou hrubou čiarou, čiže vnútorný uhol trojuholníka. A aký je vzťah medzi vonkajším a vnútorným uhlom? Spolu vždy dávajú 180 stupňov. Ak má teda vnútorný uhol v rovnostrannom trojuholníku 60 stupňov, vonkajší uhol bude mať 120 stupňov.

(Už aj pri kreslení štvorca sme sa v podstate otáčali o vonkajší uhol, ale štvorec má aj vonkajší aj vnútorný uhol 90 stupňov, takže v tom nebol rozdiel.)

Pri kreslení štvorca sme sa 4-krát otočili o 90 stupňov. Pri kreslení trojuholníka sme sa 3-krát otočili o 120 stupňov. Pri kreslení šesťuholníka sme sa 6-krát otočili o 60 stupňov. Vidíš v tých číslach nejaký systém? Skús ho objaviť, a potom pomocou príkazu „opakuj“ nakresli päťuholník a sedemuholník. Až to budeš mať (alebo ak sa to napriek dlhému skúšaniu nepodarí), čítaj ďalej...

päťuholník sedemuholník


(Ak žiakom nie je jasný rozdiel medzi vonkajším a vnútorným uhlom, môžeme si to vyskúšať „naživo“. Žiak sa postaví do stredu triedy, a chôdzou predvedie, ako sa kreslí trojuholník. Opýtam sa, či sa pritom otáča viac alebo menej ako o pravý uhol.

Pri kreslení päťuholníka môžu žiaci nájsť správny uhol experimentovaním, pretože je to celé číslo. Ak majú zadaný nesprávny uhol, a nakreslený päťuholník napriek tomu vyzerá dobre, požiadam ich, aby nakreslili väčší päťuholník; tam sa aj odchýlka o jeden stupeň viditeľne prejaví. Celý uhol by sme dostali aj v prípade osemuholníka. Na tabuľu napíšem doterajšie uholníky s príslušnými uhlami; štvorec napíšem ako „4-uholník“, aby vynikla pointa. Opýtam sa, aká je medzi uvedenými číslami súvislosť. Ak sa žiaci budú sťažovať, že v prípade sedemuholníka nie je výsledkom celé číslo, opýtam sa, aký je vzorec.)


Pri kreslení štvorca, trojuholníka, aj šesťuholníka sa korytnačka otočí dokopy o 360 stupňov, čiže urobí plný obrat. 4 × 90 = 360. 3 × 120 = 360. 6 × 60 = 360.

vonkajší uhol štvorca vonkajší uhol trojuholníka vonkajší uhol šesťuholníka

(Najľahšie si to predstavíš, ak sa postavíš na zem, a skúsiš pomocou chôdze nakresliť štvorec alebo trojuholník. Ak ich budeš kresliť také maličké, že sa vlastne budeš iba otáčať na mieste, bez ohľadu na to, ktorý obrázok kreslíš, otočíš sa raz dokola. A to je 360 stupňov. Keď kreslíš štvorec, je táto otočka o 360 stupňov rozdelená na 4 časti; keď trojuholník, na 3 časti; atď.)

Keď teda chceme nakresliť päťuholník, potrebujeme sa otáčať o 72 stupňov, pretože 5 × 72 = 360.

opakuj 5 [ dopredu 40 vpravo 72 ]

päťuholník

Ako však zadáme kreslenie sedemuholníka, keď 360 / 7 nie je celé číslo? Našťastie nemusíme zadávať výsledok výpočtu, ale stačí zadať vzorec. Sedemuholník nakreslíme takto:

opakuj 7 [ dopredu 40 vpravo 360/7 ]

sedemuholník

(Ten trik so zadávaním vzorca sme mohli použiť aj v predchádzajúcich príkladoch. Pri päťuholníku sme sa mohli otáčať o 360/5 stupňov, pri trojuholníku o 360/3 stupňov, atď. Ak vieš vytvárať vlastné príkazy s parametrom, môžeš pomocou vzorca 360/:n vytvoriť príkaz na kreslenie n-uholníka, kde sa hodnota „n“ zadá ako parameter.)

Teraz už teda vieš nakresliť pravidelný mnohouholník s ľubovoľným počtom strán. Ak má veľa strán, urob tie strany kratšie, nech sa zmestí na obrazovku. Skús nakresliť 36-uholník. Vyzerá ako kruh, však?

Skús teraz pomocou príkazu „opakuj“ nakresliť pravidelnú päťcípu hviezdu. Skúšaj rôzne uhly, podľa potreby zväčšuj alebo zmenšuj. Použi veľkosť strany 200. (Vtedy musíš zadať presný uhol, aby obrázok vyzeral pekne. Pri malých hviezdach by obrázok vyzeral napohľad správne, aj keby sa uhol o pár stupňov líšil od správnej hodnoty.)

Vidíš nejakú súvislosť medzi uhlom, o ktorý sa musíš otočiť pri kreslení pravidelného päťuholníka, a pri kreslení päťcípej hviezdy? Ak máš hviezdu hotovú, čítaj ďalej...

päťcípa hviezda


(Za mojich školských čias sa päťcípe hviezdy nachádzali všade naokolo, ale dnes odporúčam pri tomto príklade nakresliť ukážkovú päťcípu hviezdu na tabuľu. ;-)

Uhol päťcípej hviezdy sa dá uhádnuť skúšaním, pretože je to celé číslo. Potom sa opýtam na súvislosť medzi vonkajším uhlom päťuholníka a vonkajším uhlom päťcípej hviezdy.)


Skúšaním rôznych uhlov môžeme zistiť, že správny uhol pre päťcípu hviezdu je 144 stupňov. To je dvakrát toľko ako uhol pre pravidelný päťuholník (72 stupňov). Korytnačka sa totiž pri kreslení päťcípej hviezdy otočí o dvakrát 360 stupňov.

(Postav sa na zem a pomocou chôdze nakresli päťcípu hviezdu. Nájdi si pritom nejaký orientačný bod, napríklad okno alebo dvere. Ak začneš kresliť smerom k oknu, počas kreslenia sa raz otočíš tak, že pritom uvidíš okno – to bolo prvých 360 stupňov – a keď sa na konci dostaneš do pôvodnej polohy, zase vidíš okno – to bolo druhých 360 stupňov.)

Strany päťcípej hviezdy rozdeľujú priestor na 5 rovnakých uhlov, rovnako ako strany pravidelného päťuholníka. Pri kreslení pravidelného päťuholníka sme sa vždy otáčali o jeden z týchto uhlov, pri kreslení päťcípej hviezdy sa otáčame o dva – všimni si vonkajší uhol pri každom špici hviezdy.

vonkajší uhol päťuholníka vonkajší uhol päťcípej hviezdy

Päťcípu hviezdu teda nakreslíme príkazom:

opakuj 5 [ dopredu 70 vpravo 2*360/5 ]

(Namiesto vzorca 2*360/5 sme mohli napísať aj výsledok 144, ale načo zbytočne počítať, keď to korytnačka spočíta za nás. Navyše je zo vzorca vidno, akým postupom sme zistili daný uhol, a čo treba prípadne zmeniť, keby sme chceli nakresliť iný obrázok.)

Ak sa namiesto uhlov budeme pozerať na vrcholy, môžeme si všimnúť inú zaujímavosť. Vrcholy pravidelného päťuholníka a vrcholy päťcípej hviezdy vyzerajú podobne – je to päť bodov rovnomerne umiestnených do kruhu. (To môžeme využiť pri kreslení na papieri. Ak chceme nakresliť pravidelnú hviezdu, najjednoduchšie je nakresliť kružidlom veľkú kružnicu, na nej vyznačiť vrcholy, a správne ich pospájať.) Rozdiel je len v tom, že keď kreslíme päťuholník, spojíme každý vrchol so susedným vrcholom v kruhu. Keď kreslíme päťcípu hviezdu, spájame každý vrchol až s druhým susedným vrcholom (jeden preskočíme), a preto musíme kruh obísť dokola dvakrát. Preto sa korytnačka točí dvakrát viac, a z toho pochádza číslo 2 vo vzorci.

vrcholy päťuholníka vrcholy päťcípej hviezdy

Skús teraz podobným spôsobom pomocou príkazu „opakuj“ nakresliť sedemcípu hviezdu. Dá sa to urobiť dvoma spôsobmi, takže ak nájdeš jedno riešenie, skús nájsť aj druhé. (Pomôcka: všimni si vrcholy na nasledujúcich obrázkoch; ktorý sa spája s ktorým?) Potom čítaj ďalej...

vrcholy sedemcípej hviezdy vrcholy inej sedemcípej hviezdy


Sedemcípa hviezda sa kreslí podobne ako päťcípa, ale máme dve možnosti. Predstav si sedem vrcholov v kruhu. Ak spojíš každý vrchol so susedným, vznikne pravidelný sedemuholník. Ak spojíš každý vrchol s druhým susedným (vždy preskočíš jeden vrchol), vznikne jeden typ sedemcípej hviezdy,...

opakuj 7 [ dopredu 70 vpravo 2*360/7 ]

vrcholy sedemcípej hviezdy

...a ak spojíš každý vrchol s tretím susedným vrcholom (vždy preskočíš dva vrcholy), vznikne druhý typ sedemcípej hviezdy.

opakuj 7 [ dopredu 80 vpravo 3*360/7 ]

vrcholy inej sedemcípej hviezdy

Vo vzorci pre hviezdu teda zadávame, koľko vrcholov má mať, a ako majú byť navzájom pospájané. Niektoré kombinácie čísel nám dajú nový druh hviezdy, ale niektoré nie.

Napríklad ak máme 7 vrcholov a presúvame sa vždy o 1, vznikne pravidelný sedemuholník. Keby sme sa presúvali vždy o 6, je to to isté ako presúvať sa o 1, len v opačnom smere. (Ak neveríš, vyskúšaj!) Ak sa presúvame o 2 alebo o 3, dostaneme dva typy sedemcípych hviezd. Keby sme sa presúvali o 5 alebo o 4, bolo by to to isté, len v opačnom smere. A tým sme vlastne všetky možnosti vyčerpali.

(Čo sa stane, ak zadáme do vzorca aj iné čísla ako od 1 do 6? Ak to nebude celé číslo, čiara sa neuzavrie; zostane roztrhnutá. Ak to bude 0 alebo 7, nakreslí sa iba jedna dlhá čiara – korytnačka sa nebude točiť vôbec, alebo sa otočí o 360 stupňov, čo je to isté, ako keby sa neotočila vôbec. A pre čísla vyššie ako 7 sa to celé opakuje...)

Podobne pri 5 vrcholoch sme pri presúvaní o 1 vrchol (alebo o 4 vrcholy) dostali pravidelný päťuholník; pri presúvaní o 2 vrcholy sme dostali hviezdu; pri presúvaní o 3 by sme dostali rovnakú hviezdu, len v opačnom smere.

Myslíš, že sa takto dajú nakresliť všetky hviezdy? Ak áno, skús nakresliť šesťcípu alebo osemcípu hviezdu. Potom čítaj ďalej...


Niektoré hviezdy sa takýmto jednoduchým spôsobom nakresliť nedajú. Napríklad šesťcípa hviezda sa skladá z dvoch prepletených trojuholníkov, ale ak zadáme, že sa má každý vrchol spojiť s druhým susedným (jeden preskočiť), namiesto hviezdy sa vykreslí iba trojuholník. (Keďže sme nakreslili 6 čiar, trojuholník sa vlastne prekreslil dvakrát, ale na výsledku to nevidno.)

vrcholy šesťcípej hviezdy

Je to preto, lebo 6 sa dá deliť 2, takže ak máme 6 vrcholov v kruhu a presúvame sa vždy o 2, na niektoré vrcholy sa nedostaneme (a na niektoré iné sa dostaneme aj viackrát).

(Aby sme sa vyjadrili matematicky presne, nejde tu o to, či sa jedno číslo dá deliť druhým, ale či majú spoločného deliteľa. Napríklad 15 sa nedá deliť 6, ale keby sme mali v kruhu 15 vrcholov, a vždy by sme sa chceli presúvať o 6, nedostali by sme sa tak na každý vrchol, ale iba na každý tretí. Je to preto, lebo 3 je najväčší spoločný deliteľ čísel 15 a 6.)

Skús teraz nakresliť osemcípu, deväťcípu, desaťcípu, a dvanásťcípu hviezdu. Tri z nich sa dajú nakresliť iba jedným spôsobom, iba jedna sa dá nakresliť dvoma spôsobmi. Ktorá? Najprv sa zamysli, a skús na to dôjsť matematicky, pri ktorej hviezde sa treba presúvať o koľko vrcholov. Potom vyskúšaj nakresliť, či je to naozaj tak.

Skús nakresliť jedenásťcípu hviezdu, tá sa dá nakresliť mnohými spôsobmi. Koľko rôznych typov jedenásťcípych hviezd existuje? (Kresli ich dosť veľké, aby bolo vidno rozdiel.)

Niečo pre matematikov: Najmenšia možná hviezda je päťcípa. (Myslím tým hviezdy toho typu, aké sme kreslili v tomto cvičení. Lebo dajú sa nakresliť aj iné, ak umožníme lomené čiary, a podobne – ale o tom sa teraz nebavíme.) Sedemcípa hviezda sa dá nakresliť dvoma spôsobmi, jedenásťcípa sa dá nakresliť viac ako dvoma spôsobmi. Čo majú spoločné čísla 5, 7, 11? Skús odhadnúť, pre ktoré ďalšie čísla (povedzme do 20) sa bude dať nakresliť veľa hviezd. (Pomôcka: súvisí to s deliteľnosťou.)

A to je všetko; na ďalšej strane nájdeš už iba odpovede na tieto otázky. Najprv ich skús vyriešiť samostatne, a až potom čítaj ďalej...


(Ak majú žiaci papier a pero, požiadam ich, aby príslušné hviezdy skúsili najprv nakresliť na papieri, alebo aby si napísali, ktoré číselné kombinácie sú možné. Najprv samostatne, potom môžeme diskutovať o výsledkoch. Kreslením na počítači si overíme správnosť odpovedí.)


Ak máme dané, koľko má byť vrcholov, počet možných druhov hviezd závisí od toho, koľko existuje menších čísel, ktoré s počtom vrcholov nemajú spoločného deliteľa. (Čísla, ktoré nemajú spoločného deliteľa, sa nazývajú nesúdeliteľné.) Zaujímajú nás iba čísla do polovice počtu vrcholov, lebo pre vyššie čísla dostaneme rovnaký útvar, len v opačnom smere. Jednotku vynechávame, lebo vtedy dostaneme pravidelný mnohouholník, nie hviezdu.

Pre 8 vrcholov je menšie nesúdeliteľné číslo 3. Osemcípa hviezda sa teda dá nakresliť iba jedným spôsobom. (Ďalšie nesúdeliteľné číslo je 5, ale preskakovať o 5 vrcholov je ako preskakovať o 3 vrcholy v opačnom smere. Potom ešte 7, ale to je ako 1.)

opakuj 8 [ dopredu 70 vpravo 3*360/8 ]

osemcípa hviezda

Pre 9 vrcholov sú menšie nesúdeliteľné čísla 2 a 4. (A potom ešte 5, 7, 8.) Deväťcípa hviezda sa teda dá nakresliť dvoma spôsobmi.

opakuj 9 [ dopredu 60 vpravo 2*360/9 ] opakuj 9 [ dopredu 70 vpravo 4*360/9 ]

deväťcípa hviezda iná deväťcípa hviezda

Pre 10 vrcholov je menšie nesúdeliteľné číslo 3. (A potom ešte 7 a 9.) Desaťcípa hviezda sa teda dá nakresliť iba jedným spôsobom.

opakuj 10 [ dopredu 70 vpravo 3*360/10 ]

desaťcípa hviezda

Pre 12 vrcholov je menšie nesúdeliteľné číslo 5. (A potom ešte 7 a 11.) Dvanásťcípa hviezda sa teda dá nakresliť iba jedným spôsobom.

opakuj 12 [ dopredu 70 vpravo 5*360/12 ]

dvanásťcípa hviezda

Ak máme 11 vrcholov, menšie nesúdeliteľné čísla sú 2, 3, 4, 5. (A potom ešte 6, 7, 8, 9, 10.) To sú vlastne všetky menšie čísla, lebo 11 je prvočíslo. Jedenásťcípa hviezda sa teda dá nakresliť štyrmi rôznymi spôsobmi:

opakuj 11 [ dopredu 50 vpravo 2*360/11 ] opakuj 11 [ dopredu 70 vpravo 3*360/11 ] opakuj 11 [ dopredu 70 vpravo 4*360/11 ] opakuj 11 [ dopredu 90 vpravo 5*360/11 ]

jedenásťcípa hviezda iná jedenásťcípa hviezda ešte iná jedenásťcípa hviezda posledná jedenásťcípa hviezda

Vidíme teda, že prvočísla majú veľa menších nesúdeliteľných čísel. Aj 5 a 7 boli prvočísla. Ďalšie prvočísla sú 13, 17, 19; hviezdy s takýmto počtom vrcholov sa dajú nakresliť 5, 7, 9 spôsobmi. (Ostatné hviezdy do 20 vrcholov sa dajú nakresliť iba 2 alebo 3 spôsobmi.)

A tu je asi vhodné skončiť, lebo už to začína byť zložité. Ale obrázky sú pekné, nie? ;-)


(Na jednej vyučovacej hodine sa túto lekciu asi nepodarí prebrať až do konca. Možné riešenia: nechať to tak, dokončiť na budúcej hodine, alebo dať prípadným záujemcom túto lekciu písomne, napríklad v podobe linky na tento článok, nech si ju dokončia doma.)

Hlavné správy

ZAHRANIČIE

Sedem štátov NATO chce vytvoriť nové sily rýchleho nasadenia

Zámer reaguje na ukrajinskú krízu. Zahŕňa aj pobaltské štáty, veliť by mali Briti.

KOMENTARE.SME.SK

Mám sen. Že budeme dodržiavať zákony

Kým zákony platia, sme povinní – či už chceme, alebo nie, či s nimi súhlasíme, alebo nie – ich dodržiavať.

SPORT.SME.SK

Chelsea vyhrala nad Evertonom 6:3, City prehralo so Stoke

Hráči United pokračujú bez víťazstva, na ihrisku Burnley len remizovali 0:0.


Už ste čítali?